Question

【题目】某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入 （万元），假定该产品产销平衡．
（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？
（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？
（3）求该厂利润最大时产品的售价．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，成本函数为C（x）=2+x，

从而利润函数

要使不亏本，只要L（x）≥0，

当0≤x≤4时，L（x）≥03x﹣0.5x2﹣2.5≥01≤x≤4，

当x＞4时，L（x）≥05.5﹣x≥04＜x≤5.5．

综上，1≤x≤5.5．

答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间

（2）解：当0≤x≤4时，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，

故当x=3时，L（x）max=2（万元），

当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．

综上，当年产300台时，可使利润最大

（3）解：由（2）知x=3，时，利润最大，此时的售价为 （万元/百台）=233元/台
【解析】由题意写出成本函数，则收入函数减去成本函数即可得到利润函数．（1）由利润函数大于等于0，分段求解x的取值范围，取并集得答案；（2）分段求解利润函数的最大值，取各段最大值中的最大者；（3）（2）中求出了利润最大时的x的值，把求得的x值代入 得答案．