Question

7．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{t^2}\\ y=\frac{1}{4}t\end{array}$（t为参数），曲线与直线l：y=$\frac{1}{2}$x相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y²（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组$\left\{\begin{array}{l}x=8{y^2}\\ x=2y\end{array}\right.$，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{t^2}\\ y=\frac{1}{4}t\end{array}$，
∴x=$\frac{1}{2}$（4y）²，
即x=8y²，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}x=8{y^2}\\ x=2y\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以$A（0，0），B（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$，
故AB=$\sqrt{（\frac{1}{2}-0）^{2}+（\frac{1}{4}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．