Question

△ABC中，求证：a²+b²+c²≥4

3

△（△为△ABC的面积）
（提示：利用△=

1

2

absinc，c2=a2+b2-2abcosc，再用求差法）

Answer 1

分析：把c²=a²+b²-2abcosc代入a²+b²+c²-4

3

△中利用两角和公式化简整理，进而根据基本不等式证明原式．

解答：证明：由余弦定理可知c²=a²+b²-2abcosc，
利用做差法有a²+b²+c²-4

3

△
=2a²+2b²-2abcosC-2

3

absinC
=2a²+2b²-4absin（C+

π

6

）≥2a²+2b²-4ab≥0，当a=b时等号成立，
故原式得证．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用和基本不等式的证明，属基础题．