Question

在△ABC中，求证：a(sinB-sinc)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

Answer 1

思路分析：本题主要是考查正弦定理不同形式的应用，利用正弦定理的变形证明等式.

证法一：由正弦定理，得

asinB-bsinA=0,asinC-csinA=0,bsinc-csinB=0.

∴左边=asinB-asinC+bsinC-bsinA+csinA-csinB

=(asinB-bsinA)+(bsinC-csinB)+(csinA-asinC)=0=右边.

证法二：由正弦定理可得

左边=2RsinA(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)

=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)

=2R·0=0=右边.

证法三：由正弦定理可得

左边=

=(ab-ac+bc-ab+ac-bc) =0=右边.

方法归纳 证法一是利用正弦定理化为同类项，经合并同类项而求得；证法二是利用正弦定理的变形将边转化为角，化简求得；证法三是利用正弦定理的变形，把角关系均化为边关系，化简求得.