题目内容

12.在锐角ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,b=4,c=6,且asinB=2$\sqrt{3}$.
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC的中点,求线段AD的长.

分析 (1)根据正弦定理得出asinB=bsinA,从而求出sinA;
(2)先根据余弦定理求出边长a,再用中线长公式得出AD的长.

解答 解:(1)根据正弦定理得,$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,
所以,asinB=bsinA=2$\sqrt{3}$,
因为,b=4,所以,sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
且三角形为锐角三角形,
所以,A=$\frac{π}{3}$;
(2)由(1)得,cosA=$\frac{1}{2}$,
根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
所以,a2=42+62-2×4×6×$\frac{1}{2}$=28,
解得a=2$\sqrt{7}$,
因为D为BC的中点,则AD为BC边的中线,
因此,根据三角形中线长公式:
|AD|=ma=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$=$\sqrt{19}$,
即线段AD的长度为$\sqrt{19}$.

点评 本题主要考查了运用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及三角形中线长的计算,属于中档题.

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