Question

【题目】已知椭圆C：mx2+3my2=1（m＞0）的长轴长为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知椭圆C： ，

所以 ， ，

故 ，解得 ，

所以椭圆C的方程为 ．

因为 ，所以离心率

（2）

解：设线段AP的中点为D．

因为BA=BP，所以BD⊥AP．

由题意知直线BD的斜率存在，

设点P的坐标为（x0，y0）（y0≠0），

则点D的坐标为 ，直线AP的斜率 ，

所以直线BD的斜率 ，

故直线BD的方程为 ．

令x=0，得 ，故 ．

由 ，得 ，化简得 ．

因此，S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB=

= = = ．

当且仅当 时，即 时等号成立．

故四边形OPAB面积的最小值为

【解析】（1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB ， 化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．