题目内容
【题目】已知函数,其中
.
Ⅰ
当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
Ⅱ
当
时,若
在区间
上的最小值为
,求a的取值范围;
Ⅲ
若
,
,且
,
恒成立,求a的取值范围.
【答案】(I);(II)
;(III)
.
【解析】
Ⅰ
求出
,由
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;
Ⅱ
确定函数的定义域,求导函数,分类讨论,利用导数确定函数的单调性,利用单调性求得函数
在区间
上的最小值为
,即可求
的取值范围;
Ⅲ
设
,则
,对任意
,
,
,且
恒成立,等价于
在
上单调递增,由此可求
的取值范围.
Ⅰ
当
时,
,
因为,
,所以切线方程为
Ⅱ
函数
的定义域为
.
当时,
,
令,即
,所以
或
当,即
时,
在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
;
当时,
在
上的最小值是
,不合题意;
当时,
在
上单调递减,
所以在
上的最小值是
,不合题意
综上可得
Ⅲ
设
,则
,对任意
,
,
,且
恒成立,等价于
在
上单调递增.
而,
当时,
,此时
在
单调递增;
当时,只需
在
恒成立,因为
,只要
,则需要
,
对于函数,过定点
,对称轴
,只需
,即
综上可得
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