题目内容
已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.(1)当θ=0时,求f(x)的单调增区间;
(2)θ∈(0,π),且sinx不恒为0,则θ为何值时,f(x)为偶函数?
解:(1)当θ=0时,f(x)=sinx+cosx=
sin(x+
).
由2kπ-
≤x+
≤2kπ+
(k∈Z),得
2kπ-
≤x≤2kπ+
(k∈Z).
∴f(x)的单调增区间是［2kπ-
,2kπ+
］(k∈Z).
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x).
∴sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ).
∴sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ).
展开整理得2sinxcosθ=-2sinxsinθ.
∵sinx不恒为零,∴cosθ=-sinθ.
∴tanθ=-1,θ=kπ-
(k∈Z).
又∵θ∈(0,π),∴θ=
.
故θ=
时,f(x)为偶函数.
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