题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,抛物线
上存在一点
到焦点
的距离等于
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线
上且异于原点,点
为直线
上的点,且
.求直线
与抛物线
的交点个数,并说明理由.
【答案】(1);(2)直线
与抛物线
只有一个交点,理由见解析。
【解析】
(1)由题意,的奥抛物线的准线方程为,列出方程,求得
的值,即可得到答案.
(2)设点为
,点
为
,焦点
为
,由题意可得
,列出方程,得到直线
的方程,再与抛物线方程联立,即可求解.
(1)抛物线的准线方程为,
所以点
到焦点的距离为
.
解得.
所以抛物线的方程为
.
(2)直线与抛物线
只有一个交点,理由如下:
设点为
,点
为
,焦点
为
.
则,
.
由题意可得,
故.
从而.
故直线的斜率
.
故直线的方程为
,即
.①
又抛物线的方程
,②
联立消去得
,故
,且
.
故直线与抛物线
只有一个交点.
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