Question

12．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．过点（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于M、N两点，求弦长|MN|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由（1）可得右焦点F（$\sqrt{2}$，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线l的方程为：y=x-$\sqrt{2}$，与椭圆方程联立可得：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）可得右焦点F（$\sqrt{2}$，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线l的方程为：y=x-$\sqrt{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
化为4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，x₁x₂=$\frac{3}{4}$．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{2[（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-4×\frac{3}{4}]}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．