Question

（本小题满分12分）
已知双曲线的离心率为，且过点P（）.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A,B,且  
（其中O为原点），求k的取值范围.

Answer 1

（1）
（2）或.

解析试题分析:(1)根据,从而得到,所以曲线C的方程可化为,再把点P（）的坐标代入此方程即可求出b²的值，从而得到双曲线C的方程.
（2）设,则由可得,
即,所以,因而直l₁的方程与双曲线C的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，借助韦达定理代入上述不等式即可得到关于k的不等式，再根据二次项系数不为零及对k的要求，最终得到k的取值范围.
考点：双曲线的标准方程及双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，向量的数量积的坐标表示.
点评：（1）当题目给离心率条件求标准方程时一般要利用(双曲线时)，得到b和a的关系式，然后化简双曲线方程，再利用其它条件求方程中的参数即可.
（2）直线与双曲线相交时，要注意联立方程得到的一元二次方程的系数不为零，判别式大于零，这是前提条件.