Question

11．已知f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x$∈[0，\frac{π}{2}]$，则f（x）的值域为（　　）

• A． [0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$]
• B． [1-$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$]
• C． [0，$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{12}$]
• D． [1-$\frac{π}{4}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{12}$]

Answer 1

分析 利用利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x$∈[0，\frac{π}{2}]$，
f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，
则当$0≤x＜\frac{π}{3}$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当$\frac{π}{3}＜x≤\frac{π}{2}$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值，$f（\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．
而f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=1-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）的值域为$[0，\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}]$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．