题目内容

15.求和:-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$.

分析 通过-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,利用错位相减法计算可知Sn=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$,进而计算可得结论.

解答 解:记Sn=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$,
则$\frac{1}{2}$Sn=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+(n-1)•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,
两式错位相减得:$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,
∴Sn=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$,
∴-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$
=-2+2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
=-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$.

点评 本题考查数列的求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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