Question

13．（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点（4，-$\sqrt{10}$）．求双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程，利用条件得$\left\{\begin{array}{l}{2a=5+3}\\{4{c}^{2}={5}^{2}-{3}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b²=12，即可求椭圆的方程．
（2）设双曲线方程为x²-y²=λ，代入点，求出λ，即可求双曲线方程．

解答 解：（1）设所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），…（2分）
由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{2a=5+3}\\{4{c}^{2}={5}^{2}-{3}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b²=12．…（5分）
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{12}$=1．…（7分）
（2）∵e=$\sqrt{2}$，∴设双曲线方程为x²-y²=λ．…（2分）
又∵双曲线过（4，-$\sqrt{10}$）点，∴λ=16-10=6，…（5分）
∴双曲线方程为x²-y²=6．…（7分）

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程，考查待定系数法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．