题目内容

已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）， $数学公式$ ，我们把所有满足b_i•b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为________．（写出所有正确命题的序号）

解：若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，根据二次函数的性质，应有△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．
当m=0时，f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），①错误
当m=4时，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，取0＜x₁=1＜x₂=2 使得不等式f（x₁）＞f（x₂），故m=4，②正确．
由上S_n=f（n）=（n-2）²，当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．∴ $\text{[math]}$ ③错误
当n=1时，b₁=1-4=-3＜0，而b₂=1- $\text{[math]}$ =5＞0，b₁b₂＜0，所以i可以为1．
n≥2时，b_n•bn+1=（1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜0
解得n=2，4．即i=2、4
即数列{b_n}的异号数为3． ④错误，⑤正确
故答案为：②⑤
分析：不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得出△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．结合在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，排除m=0．利用数列中a_n与 Sn关系求出a_n，判断出③的正误．继而根据a_n，求出bn，通过解不等式b_i•b_i+1＜0得出i的取值．
点评：本题考查二次函数图象和性质，数列通项公式求解，解不等式．考查阅读理解、计算等能力．