题目内容
【题目】如图,矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(1)由面面垂直性质定理可得平面
,即
,根据菱形的性质可得
,结合线面垂直判定定理即可的结果;(2)以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面
以及平面
的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角
的余弦值.
(1)证明:∵矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
∴,
∵矩形菱形
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
∵菱形中,
,
为
的中点.
∴,即
∵,∴
平面
.
(2)由(1)可知两两垂直,以A为原点,AG为x轴,AF为y轴,AD为z轴,
建立空间直角坐标系,设,
则,故
,
,
,
,
则,
,
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设二面角的平面角为
,则
,
易知为钝角,∴二面角
的余弦值为
.
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