题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（I）求 $数学公式$ 的值；
（II）若关于x的方程 $数学公式$ 在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）若f（x）的反函数f^-1（x）的图象过点 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

解：（I） $\text{[math]}$
=log_a $\text{[math]}$ +log_a $\text{[math]}$ -f（ $\text{[math]}$ ）
=log_a（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）
=log_a $\text{[math]}$ -f（ $\text{[math]}$ ）
=log_a $\text{[math]}$ -f（ $\text{[math]}$ ）
=f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）
=0．
（II）因为关于x的方程 $\text{[math]}$ 在x∈[0，1）上有实数解，
所以：log_a $\text{[math]}$ =log_a $\text{[math]}$ ；
所以： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在x∈[0，1）上有实数解；
所以：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，
因为：t′=6x（x-1），且x∈[0，1）时，t′（x）＜0，
所以：t（x）在[0，1）上单调递减，
所以：t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5，
所以：实数t的取值范围是：t（4，5]．
（III）因为f^-1（x）的图象过点 $\text{[math]}$ ，
所以： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=2．
所以：f^-1（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ；
得：1-f^-1（x）= $\text{[math]}$ ；
当n≥3时，
所以：（1-f^-1（1））+（1-f^-1（2））+（1-f^-1（3））+…+（1-f^-1（n））
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
＜2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
＜2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
所以： $\text{[math]}$ ．
因为：当n=1或n=2时， $\text{[math]}$ 成立．
故 $\text{[math]}$ 对所有的正整数n成立．
分析：（I）直接把变量代入，整理即可得到结论；
（II）先把所求问题转化为t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，通过求其导数，即可求出其最大最小值，进而得到结论．
（III）先根据条件求出a，再结合放缩法即可得到结论的证明．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．其中涉及到不等式的证明．