Question

设函数．
（I）求的值；
（II）若关于x的方程在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）若f（x）的反函数f^-1（x）的图象过点，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接把变量代入，整理即可得到结论；
（II）先把所求问题转化为t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，通过求其导数，即可求出其最大最小值，进而得到结论．
（III）先根据条件求出a，再结合放缩法即可得到结论的证明．
解答：解：（I）
=log_a+log_a-f（）
=log_a（•）-f（）
=log_a-f（）
=log_a-f（）
=f（）-f（）
=0．
（II）因为关于x的方程在x∈[0，1）上有实数解，
所以：log_a=log_a；
所以：=在x∈[0，1）上有实数解；
所以：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，
因为：t′=6x（x-1），且x∈[0，1）时，t′（x）＜0，
所以：t（x）在[0，1）上单调递减，
所以：t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5，
所以：实数t的取值范围是：t（4，5]．
（III）因为f^-1（x）的图象过点，
所以：=，解得a=2．
所以：f^-1（x）==1-；
得：1-f^-1（x）=；
当n≥3时，
所以：（1-f^-1（1））+（1-f^-1（2））+（1-f^-1（3））+…+（1-f^-1（n））
=++
＜2（+++…+）
=2（+）
＜2（++）=．
所以：．
因为：当n=1或n=2时，成立．
故对所有的正整数n成立．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．其中涉及到不等式的证明．