Question

19．已知A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则ab的最大值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 利用三点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）共线，可得k_AB=k_AC，求得2a+b=1，结合a＞0，b＞0，利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：∵A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，
∴k_AB=k_AC，即$\frac{-1-（-2）}{a-1}=\frac{0-（-2）}{-b-1}$，即2a+b=1．
又∵a＞0，b＞0，
∴1=2a+b$≥2\sqrt{2ab}$，即1≥8ab，ab$≤\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查三点共线的条件，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．