Question

如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线与平面所成的角的正弦值。

 

Answer 1

解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，

D为AC中点，PD//.

又PD平面D，//平面D 

（2）正三棱住， 底面ABC。

又BDACBD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1tan =

=, 即二面角的大小是

（3）由（2）作AM，M为垂足。

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，AM平面，BDAM

BD = DAM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。

=，AD=1，在RtD中，=，

，,

直线与平面D所成的角的正弦值为

解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

设平面的法向量为n=（x，y，z）

则n

n

则有，得n=（，0，1）

由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。

设n与所成角为，则，

二面角的大小是

（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）则

直线与平面D所成的角的正弦值为.