题目内容
16．（1）已知z1，z2是两个虚数，并且z1+z2与z1z2均为实数，求证：z1，z2是共轭复数（2）求证：无论θ为何值，方程x2-（tanθ+i）x-（i+2）=0都不可能有纯虚数根．
分析 （1）设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，则z1+z2=（a+c）+（b+d）i为实数，可得b+d=0．由z1z2=（ac-bd）+（ad+bc）i为实数，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得c=a．即可证明．
（2）假设此方程有纯虚数根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）2-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化为（b2-b+2）+（btanθ+1）i=0，由b2-b+2=0无实数根，可得设不成立，因此原命题成立．
解答 证明：（1）设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，
则z1+z2=（a+c）+（b+d）i为实数，可得b+d=0．
由z1z2=（ac-bd）+（ad+bc）i为实数，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得：b（c-a）=0，
∵b≠0，∴c=a．∴z1，z2是共轭复数．
（2）假设此方程有纯虚数根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）2-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化为（b2-b+2）+（btanθ+1）i=0，
∵b2-b+2=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$＞0，因此b2-b+2=0无实数根，这与假设矛盾，
∴假设不成立，
因此原命题成立．
点评 本题考查了复数的有关知识、反证法等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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1．将函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，然后将图象所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），则所得函数解析式为（ ）
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