题目内容
对任意函数f（x），x∈D，可按图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列{xn}．（Ⅰ）若定义函数f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
| 49 |
| 65 |
（Ⅱ）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=-1，求数列{xn}的通项公式xn．
（Ⅲ）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
分析：（Ⅰ）函数f(x)=
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{xn}只有三项x1=
，x2=
，x3=-1．
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，若x0=-1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式．
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
| 4x-2 |
| x+1 |
| 11 |
| 19 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，若x0=-1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式．
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数f(x)=
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把x0=
代入可得x1=
，
把x1=
代入可得x2=
，
把x2=
代入可得x3=-1
因为x3=-1∉D，
所以数列{xn}只有三项：x1=
，x2=
，x3=-1…（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，
若x0=-1，则x1=1，
则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），
所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，
所以xn=2n+1-3，
即数列{xn}的通项公式xn=2n+1-3．…（9分）
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，
则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
则x=0或sinx=1，所以x=0或x=
即当x0=0或x0=
时，xn+1=xnsinxn=xn
故当x0=0时，xn=0；当x0=
时，xn=
．…（14分）
解：（Ⅰ）函数f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
把x0=
| 49 |
| 65 |
| 11 |
| 19 |
把x1=
| 11 |
| 19 |
| 1 |
| 5 |
把x2=
| 1 |
| 5 |
因为x3=-1∉D，
所以数列{xn}只有三项：x1=
| 11 |
| 19 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，
若x0=-1，则x1=1，
则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），
所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，
所以xn=2n+1-3，
即数列{xn}的通项公式xn=2n+1-3．…（9分）
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，
则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
则x=0或sinx=1，所以x=0或x=
| π |
| 2 |
即当x0=0或x0=
| π |
| 2 |
故当x0=0时，xn=0；当x0=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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