Question

对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{x_n}．
（1）若定义函数f(x)=

4x-2

x+1

，且输入x0=

49

65

，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{x_n}，试求输入的初始数据x₀的值及相应数列{x_n}的通项公式x_n；
（3）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x₀=-1，求数列{x_n}的通项公式x_n．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=

4x-2

x+1

的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{x_n}只有三项x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x₀的值及相应数列{x_n}的通项公式x_n．
（3）f（x）=2x+3的定义域为R，若x₀=-1，则x₁=1，则x_n+1+3=2（x_n+3），从而得到数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{x_n}的通项公式．

解答：解：（1）函数f(x)=

4x-2

x+1

的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把x0=

49

65

代入可得x1=

11

19

，把x1=

11

19

代入可得x2=

1

5

，把x2=

1

5

代入可得x₃=-1
因为x₃=-1∉D，
所以数列{x_n}只有三项：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1…（4分）
（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，则x=0或sinx=1，所以x=0或x=

π

2

…（6分）
即当x0=0或x0=

π

2

时，xn+1=xnsinxn=xn
故当x₀=0时，x_n=0；当x0=

π

2

时，xn=

π

2

．  …（9分）
（3）f（x）=2x+3的定义域为R，…（10分）
若x₀=-1，则x₁=1，
则x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），…（12分）
所以数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，所以xn=2n+1-3，
即数列{x_n}的通项公式xn=2n+1-3．                    …（14分）

点评：本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．