Question

4．求函数y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的反函数．

Answer 1

分析 由函数y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$（x∈R），y∈（-1，1）．解得x=$\frac{1}{2}lg\frac{1+y}{1-y}$，把x与y互换即可得出．

解答 解：由函数y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$（x∈R），y∈（-1，1）．
解得10^2x=$\frac{1+y}{1-y}$，解得x=$\frac{1}{2}lg\frac{1+y}{1-y}$，
把x与y互换可得：y=$\frac{1}{2}lg\frac{1+x}{1-x}$．
∴函数y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的反函数是y=$\frac{1}{2}lg\frac{1+x}{1-x}$．x∈（-1，1）．

点评 本题考查了数列的周期性与转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．