题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,设
的两个极值点为
,
,证明:
.
【答案】(1)详见解析(2)证明见解析。
【解析】
(1)利用导函数分子的判别式分情况讨论,即可,注意参数时,函数图像开口也会发生相应的变化。(2)利用对数平均不等式,证明即可。
解:(1),
,
对于一元二次方程,
,
①当时,即
时,
无解或一个解,
有时,
,此时
在
上单调递增,
②当时,即
时,
有两个解,
其解为, 当
时,
,故在
及
时,
;且
时,
,即
在
及
上单调递增,在
上单调递减,当
时,一个实根小于0,一个实根大于0,所以在
时,
,在
,
,即
在
上单调递增,在
上单调递减。
综上所述:即时,
在
上单调递增;
当时,即
在
及
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减。
(2)当时,
,
,又因为
的两个极值点为
,
,则
,
是方程
的两实数根,
设
。
又因为,故要证
,
只需证,
只需证,
只需证,
下面证明不等式,不妨设
,要证
,即证
,即证
,令
,设
,则
,所以,函数
在
上递减,而
,因此当
时,
恒成立,即
成立,即
成立,
所以,得证。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【题目】火箭少女101的新曲《卡路里》受到了广大听众的追捧,歌词积极向上的体现了人们对于健康以及完美身材的渴望.据有关数据显示,成年男子的体脂率在14%-25%之间.几年前小王重度肥胖,在专业健身训练后,身材不仅恢复正常,且走上美体路线.通过整理得到如下数据及散点图.
健身年数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
体脂率 | 32 | 20 | 12 | 8 | 6.4 | 4.4 |
3.4 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.9 | 1.5 |
(1)根据散点图判断,与
哪一个模型更适宜作为体脂率关于健身年数的回归方程模型(给出选择即可)
(2)根据(1)的判断结果与题目中所给数据,建立与
的回归方程.(保留一位小数)
(3)再坚持3年,体脂率可达到多少.
参考公式:
参考数据: