Question

（2012•贵阳模拟）设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以(0，  

7

)为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求

FA•

FB

的最大值； 
（3）若△FAB的面积S满足S=

2

3

FA

•

FB

，求p的值．

Answer 1

分析：（1）设双曲线C₂的标准方程，利用C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以(0，  

7

)为一个焦点的双曲线，及a²+b²=c²，即可求得双曲线C₂的标准方程；
（2）将抛物线y²=2px代入

y2

4

-

x2

3

=1，整理可得2x²-3px+6=0，根据C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，即可确定p的取值范围，从而求出

FA•

FB

的最大值； 
（3）直线AB的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），求出F到直线AB的距离，从而可求面积S，根据S=

2

3

FA

•

FB

，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）设双曲线C₂的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以(0，  

7

)为一个焦点的双曲线．
∴

a b = 2 3 c= 7

，
∵a²+b²=c²，
∴a=2，b=

3

∴双曲线C₂的标准方程为

y2

4

-

x2

3

=1；
（2）将抛物线y²=2px代入

y2

4

-

x2

3

=1，整理可得2x²-3px+6=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），则

△=9p2-48＞0 3p 2 ＞0

∴p＞

4 3

3

∵

FA•

FB

=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)+y₁y₂=-

1

2

p2+2

3

p+3=-

1

2

(p-2

3

)2+9≤9
∴当且仅当p=2

3

时，

FA•

FB

的最大值为9；
（3）直线AB的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），即

y2-y1

x2-x1

x-y-

y2-y1

x2-x1

×x₁+y₁=0
∴F到直线AB的距离为d=

|-y1(x2-x1)-(y2-y1)( p 2 -x1)|

(x2-x1)2+(y2-y1)2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

|-y1(x2-x1)-(y2-y1)(

p

2

-x1)|=

1

4

(2

3

+p)

3p2-4 3 p

∵S=

2

3

FA

•

FB

，
∴

2

3

（-

1

2

p2+2

3

p+3）=

1

4

(2

3

+p)

3p2-4 3 p

∴p=2

3

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查抛物线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，综合性强，难度大．