题目内容
给出下列命题:①已知
⊥
,则
•(
+
)+
(
-
)=
•
;②A,B,M,N为空间四点,若
,
,
不构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面;③已知
⊥
,则
,
与任何向量都不构成空间的一个基底;④若
,
共线,则
,
所在直线或者平行或者重合.正确的结论为
a |
b |
a |
b |
c |
c• |
b |
a |
b |
c |
BA |
BM |
BN |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
①②④
①②④
.分析:对于①,由条件可得
•
=0,把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等,故①正确.
对于②,由条件可得
,
,
这3个向量共面,故A、B、M、N共面,故②正确.
对于③,若
与
,
这3个向量不共面,则 {
,
,
} 构成空间的一个基底,故③不正确.
对于④,直接根据课本定义可得其成立.
a |
b |
对于②,由条件可得
BA |
BM |
BN |
对于③,若
c |
a |
b |
a |
b |
c |
对于④,直接根据课本定义可得其成立.
解答:解:①若
⊥
,则
•
=0,故
•(
+
)+
(
-
)=
•
+
•
+
•
-
•
=0+
•
=
•
,
故①正确.
②若
,
,
不构成空间的一个基底,则
,
,
这3个向量共面,故A、B、M、N共面,
故②正确.
③当
⊥
时,若
与
,
这3个向量不共面,则 {
,
,
} 构成空间的一个基底,故③不正确.
④直接根据向量共线的定义可得其成立,故④正确.
综上,①②④正确,③不正确.
故答案为:①②④.
a |
b |
a |
b |
a |
b |
c |
c• |
b |
a |
a |
b |
a |
c |
c |
b |
c |
a |
c |
b |
b |
c |
故①正确.
②若
BA |
BM |
BN |
BA |
BM |
BN |
故②正确.
③当
a |
b |
c |
a |
b |
a |
b |
c |
④直接根据向量共线的定义可得其成立,故④正确.
综上,①②④正确,③不正确.
故答案为:①②④.
点评:本题主要考查空间向量基本定理及其意义,三个向量能构成空间的基底的条件是,这三个向量不共面.
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