Question

给出下列命题：①已知

a

⊥

b

，则

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

b

•

c

；②A，B，M，N为空间四点，若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；③已知

a

⊥

b

，则

a

，

b

与任何向量都不构成空间的一个基底；④若

a

，

b

共线，则

a

，

b

所在直线或者平行或者重合．正确的结论为

①②④

．

Answer 1

分析：对于①，由条件可得

a

•

b

=0，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故①正确．
对于②，由条件可得

BA

，

BM

，

BN

这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故②正确．
对于③，若

c

与

a

，

b

这3个向量不共面，则 {

a

，

b

 ，  

c

} 构成空间的一个基底，故③不正确．
对于④，直接根据课本定义可得其成立．

解答：解：①若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=0，故

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

-

c

•

a

=0+

c

•

b

=

b

•

c

，
故①正确．
②若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，则

BA

，

BM

，

BN

这3个向量共面，故A、B、M、N共面，
故②正确．
③当

a

⊥

b

时，若

c

与

a

，

b

这3个向量不共面，则 {

a

，

b

 ，  

c

} 构成空间的一个基底，故③不正确．
④直接根据向量共线的定义可得其成立，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．