题目内容

给出下列命题:①已知
a
b
,则
a
•(
b
+
c
)+
c•
(
b
-
a
)
=
b
c
;②A,B,M,N为空间四点,若
BA
BM
BN
不构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面;③已知
a
b
,则
a
b
与任何向量都不构成空间的一个基底;④若
a
b
共线,则
a
b
所在直线或者平行或者重合.正确的结论为
①②④
①②④
分析:对于①,由条件可得
a
b
=0,把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等,故①正确.
对于②,由条件可得
BA
BM
BN
这3个向量共面,故A、B、M、N共面,故②正确.
对于③,若
c
a
b
这3个向量不共面,则 {
a
b
 ,  
c
}
构成空间的一个基底,故③不正确.
对于④,直接根据课本定义可得其成立.
解答:解:①若
a
b
,则
a
b
=0,故
a
•(
b
+
c
)+
c•
(
b
-
a
)
=
a
b
+
a
c
+
c
b
-
c
a
=0+
c
b
=
b
c

故①正确.
②若
BA
BM
BN
不构成空间的一个基底,则
BA
BM
BN
这3个向量共面,故A、B、M、N共面,
故②正确.
③当
a
b
时,若
c
a
b
这3个向量不共面,则 {
a
b
 ,  
c
}
构成空间的一个基底,故③不正确.
④直接根据向量共线的定义可得其成立,故④正确.
综上,①②④正确,③不正确.
故答案为:①②④.
点评:本题主要考查空间向量基本定理及其意义,三个向量能构成空间的基底的条件是,这三个向量不共面.
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