Question

给出下列命题：
①、已知函数y=f（x）．（x∈R），则y=f（x-1）的图象与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
②、设函数f（x）=cos（x+φ），则“f（x）为偶函数”的充要条件是“f'（0）=0”；
③、等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则“公比q＞0”是“数列{S_n}单增”的充要条件；
④、实数x，y，则“

x-y≥0 y≥0 x+y≤2

”是“|2y-x|≤2”的充分不必要条件．
其中真命题有

①②④

（写出你认为正确的所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：在y=f（x-1）的图象上任取一点P（a，b），则有b=f（a-1）=f[1-（2-a）]，故点P（a，b）关于直线x=1的对称点P'（2-a，b）在y=f（1-x）的图象上，所以y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；f（x）为偶函数?f（0）=±1?cosφ=±1?sinφ=0?f'（0）=0；公比q＞0不能得到{S_n}单增，如a_n=-2ⁿ．S_n=2-2ⁿ⁺¹单减．{S_n}单增?a_n＞0，（n≥2）成立⇒q＞0；不等式“

x-y≥0 y≥0 x+y≤2

”表示的平面区域为△ABC，不等式“|2y-x|≤2”表示的平面区域为两条平行直线l和m之间的部分，前者为后者的真子集．

解答：解析：①、正确．在y=f（x-1）的图象上任取一点P（a，b），则有b=f（a-1）=f[1-（2-a）]，故点P（a，b）关于直线x=1的对称点P'（2-a，b）在y=f（1-x）的图象上，所以y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；提示：若函数y=f（x）满足f（x-1）=f（1-x），则y=f（x）的图象关于直线x=0对称．
②、正确．f（x）为偶函数?f（0）=±1?cosφ=±1?sinφ=0?f'（0）=0
③、错误．充分性不成立．公比q＞0不能得到{S_n}单增，如a_n=-2ⁿ．S_n=2-2ⁿ⁺¹单减．
必要性成立．{S_n}单增?a_n＞0，（n≥2）成立⇒q＞0．
④、正确．如图，不等式“

x-y≥0 y≥0 x+y≤2

”表示的平面区域为△ABC，不等式“|2y-x|≤2”表示的平面区域为两条平行直线l和m之间的部分，前者为后者的真子集，故命题正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意函数的对称性、奇偶性、单调性和可行域的灵活运用．