Question

已知圆C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直线l：x-3y-3=0，m∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ） 求证：任何一条与直线?平行且与圆C相交的直线被圆C截得的弦长与m无关；
（Ⅱ） 当m=-1时，圆C与垂直于直线?的一直线l₁交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出与直线?平行的直线的方程：x-3y+n=0，利用点到直线的距离公式表示出圆心到此直线的距离整理后发现不含有参数m故可得结论．
（Ⅱ）由题意设出设直线l₁：y=-3x+b，与圆的方程：（x+3）²+（y+2）²=25联立，求得两根之和与两根之积，代入x₁x₂+y₁y₂=0即可得到关于参数b的方程，求出其值即可得直线l₁的方程

解答：解：（Ⅰ）证明：圆C：（x-3m）²+（y-（m-1））²=25，圆心为（3m，（m-1）），r=5
设直线x-3y+n=0∴d=

|3m-3(m-1)+n|

10

=

|3+n|

10

弦长=2

25-d2?

=2

25- (3+n)2 10 ?

与m无关
（Ⅱ）圆：（x+3）²+（y+2）²=25，设直线y=-3x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得：

x2+y2+6x+4y-12=0 y=-3x+b

∴10x2-(6b+6)x+b2+4b-12=0x1x2=

b2+4b-12

10

，y1y2=9x1x2-3b(x1+x2)+b2
=

b2+18b-108

10

∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²+11b-60=0∴b=-15或b=4∴y=-3x-15或y=-3x+4

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，求解的重点是设出直线的方程根据所给的关系建立方程求参数，此题由几何位置关系转化为代数关系求参数，此是解析几何的一大重要特征．本题运算较繁琐，容易出错，做题时要严谨，以防出错．