Question

13．函数f（x）=$\frac{1}{2+x-{x}^{2}}$的值域是（-∞，0）∪[$\frac{4}{9}$，+∞）．

Answer 1

分析 对二次函数2+x-x²配方便可得到2+x-x²＜0或$0＜2+x-{x}^{2}≤\frac{9}{4}$，这样求出$\frac{1}{2+x-{x}^{2}}$的范围即可得到f（x）的值域．

解答 解：$2+x-{x}^{2}=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}≤\frac{9}{4}$；
∴2+x-x²＜0，或$0＜2+x-{x}^{2}≤\frac{9}{4}$；
∴$\frac{1}{2+x-{x}^{2}}＜0$，或$\frac{1}{2+x-{x}^{2}}≥\frac{4}{9}$；
∴原函数的值域为（-∞，0）∪[$\frac{4}{9}$，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪[$\frac{4}{9}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，配方法求二次函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．