Question

【题目】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD平面FBC，DE平面FBC，BC平面FBC，BF平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE=D，AD平面EAD，DE平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，

又FC平面FBC，∴FC∥平面EAD．

（2）解：连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，

∴△DBF为等边三角形，

∵O为BD中点，∴FO⊥BD，

又∵O为AC中点，且FA=FC，∴AC⊥FO，

又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz

设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA=OF= ，

∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），F（0，0， ），

=（ ）， =（ ）， =（﹣ ，0， ），

设平面BCF的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣1），

设直线AF与平面BCF所成角为θ，

则sinθ= = = ，

∴cosθ= = ，

∴直线AF与平面BCF所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，从而平面FBC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．（2）连接FO、FD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BCF所成角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．