Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据S_n+1=4a_n+2可得当n≥2时S_n=4a_n-1+2，将两式作差可得b_n与b_n-1的关系根据等比数列的定义可证得数列{b_n}是等比数列，从而求出{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可得an+1=2an+3•2n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹，可得{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

3

4

为公差的等差数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（3）先求出{c_n}通项公式，根据通项公式的特点可考虑利用错位相减求解数列的和即可．

解答：解：（1）当n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=5----------------（1分）
∵S_n+1=4a_n+2
∴当n≥2时S_n=4a_n-1+2，将两式作差可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
而b_n=a_n+1-2a_n，则b_n=2b_n-1------------------（3分）
∴{b_n}是以首项为3，公比为2的等比数列即b_n=3•2^n-1-------------------------（4分）
（2）an+1=2an+3•2n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以

3

4

为公差的等差数列------------------------------（6分）
∴an=(3n-1)2n-2-----------------------------------（8分）
（3）∵b_n=3•2^n-1，∴c_n=nb_n=3n•2^n-1，
T_n=3×2+6×2²+…+3n•2^n-1，
2T_n=3×2²+6×2³+…+3n•2ⁿ，
将两式作差可得Tn=3•2n(n-1)+3---------------（12分）（最后一问中间过程不给分，只看结果）

点评：本题主要考查了利用基本量表示的等差数列、等比数列的通项，错位相减求解数列的和，属于数列的知识的综合应用，属于中档题．