题目内容
【题目】在直角坐标系中,已知点
,
,动点
满足直线
与
的斜率之积为
.记
的轨迹为曲线
.以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求和
的直角坐标方程;
(2)求上的点到
距离的最小值.
【答案】(1);
;(2)
【解析】
(1)根据题意列出方程可求得曲线的方程,利用极坐标与直角坐标互化公式可得直线
的直角坐标方程;
(2)设,
为曲线
上一点,利用点到直线的距离公式和逆用两角差的余弦公式,即可求出
上的点到
距离的最小值.
(1)由题设得,化简得
因为直线的极坐标方程为
,
所以直线的直角坐标方程为
.
(2)由(1)可设的参数方程为
,(
为参数,
),
设,
为曲线
上一点,
所以上的点
到
的距离为
,
当时,
取得最小值7.
故上的点到
的距离的最小值为
.
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