题目内容

设角α∈(0,
π
2
),f(x)的定义域为[0,1],f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f(
x+y
2
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)
(1)求f(
1
2
)、f(
1
4
)的值;
(2)求α的值;(3)设g(x)=4sin(2x+α)-1,且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.
考点:抽象函数及其应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题:函数的性质及应用,三角函数的图像与性质
分析:(1)令x=1、y=0代入可得f(
1
2
);令x=
1
2
、y=0代入可得f(
1
4
),
(2))令x=1、y=
1
2
代入可得f(
3
4
),再利用第(1)问的结果;
(3))由lgg(x)>0,得g(x)>1,进一步不等式化为4sin(2x+
π
6
)-1>1
,结合正弦曲线求出单调区间.
解答: 解:(1)f(
1
2
)=f(
1+0
2
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα

f(
1
4
)=f(
1
2
+0
2
)=f(
1
2
)sinα+(1-sinα)f(0)=sin2α

(2)f(
3
4
)=f(
1+
1
2
2
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(
1
2
)=sinα+(1-sinα)sinα=2sinα-sin2α
f(
1
2
)=f(
3
4
+
1
4
2
)=f(
3
4
)sinα+(1-sinα)f(
1
4
)=(2sinα-sin2α)sinα+(1-sinα)sin2α=3sin2α-2sin3α

∴sinα=3sin2α-2sin3α,解得sinα=0或sinα=1或sinα=
1
2

∵α∈(0,
π
2
),
∴sinα=
1
2
,α=
π
6

(3)∵lgg(x)>0,∴g(x)>1,
4sin(2x+
π
6
)-1>1

∴sin(2x+
π
6
)>
1
2
,∴
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
6
+2kπ,k∈Z
由函数图象可知,g(x)的递增区间为
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ,∴kπ≤x≤
π
6
+kπ,k∈Z,故递增区间为[kπ,
π
6
+kπ](k∈Z);
g(x)的递减区间为
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
6
+2kπ,∴
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ,k∈Z,故递减区间为[
π
6
+kπ,
π
3
+kπ](k∈Z).
点评:本题主要考查抽象函数的性质,同时考查三角函数的内容,本题根据抽象函数所给的条件利用赋值法是解决本题的关键.
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