题目内容
设角α∈(0,
),f(x)的定义域为[0,1],f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f(
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)
(1)求f(
)、f(
)的值;
(2)求α的值;(3)设g(x)=4sin(2x+α)-1,且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.
π |
2 |
x+y |
2 |
(1)求f(
1 |
2 |
1 |
4 |
(2)求α的值;(3)设g(x)=4sin(2x+α)-1,且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.
考点:抽象函数及其应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题:函数的性质及应用,三角函数的图像与性质
分析:(1)令x=1、y=0代入可得f(
);令x=
、y=0代入可得f(
),
(2))令x=1、y=
代入可得f(
),再利用第(1)问的结果;
(3))由lgg(x)>0,得g(x)>1,进一步不等式化为4sin(2x+
)-1>1,结合正弦曲线求出单调区间.
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
(2))令x=1、y=
1 |
2 |
3 |
4 |
(3))由lgg(x)>0,得g(x)>1,进一步不等式化为4sin(2x+
π |
6 |
解答:
解:(1)f(
)=f(
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
f(
)=f(
)=f(
)sinα+(1-sinα)f(0)=sin2α
(2)f(
)=f(
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(
)=sinα+(1-sinα)sinα=2sinα-sin2αf(
)=f(
)=f(
)sinα+(1-sinα)f(
)=(2sinα-sin2α)sinα+(1-sinα)sin2α=3sin2α-2sin3α
∴sinα=3sin2α-2sin3α,解得sinα=0或sinα=1或sinα=
∵α∈(0,
),
∴sinα=
,α=
(3)∵lgg(x)>0,∴g(x)>1,
∴4sin(2x+
)-1>1
∴sin(2x+
)>
,∴
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,k∈Z
由函数图象可知,g(x)的递增区间为
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,∴kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,故递增区间为[kπ,
+kπ](k∈Z);
g(x)的递减区间为
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,∴
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,故递减区间为[
+kπ,
+kπ](k∈Z).
1 |
2 |
1+0 |
2 |
f(
1 |
4 |
| ||
2 |
1 |
2 |
(2)f(
3 |
4 |
1+
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||||
2 |
3 |
4 |
1 |
4 |
∴sinα=3sin2α-2sin3α,解得sinα=0或sinα=1或sinα=
1 |
2 |
∵α∈(0,
π |
2 |
∴sinα=
1 |
2 |
π |
6 |
(3)∵lgg(x)>0,∴g(x)>1,
∴4sin(2x+
π |
6 |
∴sin(2x+
π |
6 |
1 |
2 |
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
由函数图象可知,g(x)的递增区间为
π |
6 |
π |
6 |
π |
2 |
π |
6 |
π |
6 |
g(x)的递减区间为
π |
2 |
π |
6 |
5π |
6 |
π |
6 |
π |
3 |
π |
6 |
π |
3 |
点评:本题主要考查抽象函数的性质,同时考查三角函数的内容,本题根据抽象函数所给的条件利用赋值法是解决本题的关键.
练习册系列答案
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双曲线
-
=1(a>0,b>0)的离心率是2,则渐近线方程为( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
A、3x±y=0 | ||
B、x±
| ||
C、x±3y=0 | ||
D、
|
数列{an}中,an=
,则前n和Sn等于( )
2 |
n(n+1) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
双曲线
-
=1的渐近线方程是( )
x2 |
9 |
y2 |
4 |
A、y=±
| ||
B、y=±
| ||
C、y=±
| ||
D、y=±
|