Question

11．设I是直角△ABC的内心，其中AB=3，BC=4，CA=5，若$\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y=（　　）

• A． $\frac{7}{12}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 将三角形放入直角坐标系，利用向量法进行求解，利用面积法先求出I的坐标，然后利用向量坐标之间的关系进行求解即可．

解答 解：将△ABC放置于直角坐标系中，如右图所示，设内切圆的半径为r，则A（3，0）B（0，0）C（0，4）．
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△ACI
∴$\frac{AB•BC}{2}=\frac{AB•r}{2}+\frac{BC•r}{2}+\frac{AC•r}{2}$
求得r=1
∵$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}$=（-3，0）+（1，1）=（-2，1）
$\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x（-3，0）+y（-3，4）$=（-3x-3y，4y）
$；\\;\\;\\;\\;=（-3x-3y，4y）$∴-3x-3y=-2，4y=1
解得x=$\frac{5}{12}$，y=$\frac{1}{4}$
∴x+y=$\frac{2}{3}$
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的应用以及平面向量运算的坐标表示，同时利用面积相等是解题过程中的一个关键．