Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2$\sqrt{2}$，又PA=PD=$\sqrt{6}$，M、N分别为AD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．
（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，
（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求四面体N-ABD的体积．

Answer 1

分析 （I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE$\underset{∥}{=}$AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．
（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=$\sqrt{P{A}^{2}-A{M}^{2}}$．在△PMB中，由余弦定理可得：PB²，利用PB²+BM²=PM²，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）利用V_N-ABD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}PB$•S_△ABD即可得出．

解答 （I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．
∴$NE\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$$\underset{∥}{=}$AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，
又MN?平面PAB，∴AE?平面PAB．
∴MN∥平面PAB．
（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，
∴PM⊥AD，∴PM=$\sqrt{P{A}^{2}-A{M}^{2}}$=2．
在△PMB中，由余弦定理可得：PB²=PM²+BM²-2PM•BMcos45°=2，
∴PB²+BM²=PM²，∴PB⊥AB．
同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，
∴PB⊥平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，
∴点N到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PB．
∴V_N-ABD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}PB$•S_△ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．