题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，侧棱
底面
垂直于
和
，
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
(Ⅲ)在线段
上是否存在一点
使得
与平面
所成角的正弦值为
若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
(Ⅲ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；
(Ⅲ)设出点的坐标，由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N是否存在.
(Ⅰ)以A点为坐标原点，
方向分别为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
，
，
故
，设平面SCD的法向量为
，则：
，
据此可得平面SCD的一个法向量为
，
且
，据此可得
，
平面
,则
平面.
(Ⅱ)设平面
的法向量为
，则：
，
据此可得平面的一个法向量
,
二面角
的平面角大小为
，易知：
.
(Ⅲ)假设存在满足题意的点N，且：
，
设点N的坐标为
，据此可得：
，
由对应坐标相等可得
，
故
，由于平面SAB的一个法向量
，
由题意可得：
，
解得：
，
据此可得存在满足题意的点N，且
的值为
.
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