题目内容

设向量a=(x2-3,1),b=(2x,-y)(其中实数y和x不同时为零),当|x|>1时,有a⊥b;当|x|≤1时,有a∥b.
(Ⅰ)求函数解析式y=f(x);
(Ⅱ)设,且,求α.
【答案】分析:(Ⅰ)根据题意分类讨论,当|x|>1时由,可得函数解析式;|x|≤1时由,可得其函数表达式;两者合起来即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知道,,由即得,从而可求得,利用反正弦可求得α.
解答:解:(Ⅰ)∵当|x|>1时
∴(x2-3)•2x-y=0,
∴y=2x3-6x(|x|>1)(2分)
∵当|x|≤1时
∴(x2-3)•(-y)=2x,
∵实数y和x不同时为零,
(4分)
(6分)
(Ⅱ)由|sinα|≤1且
∴有,(8分)
∴sin2α+4sinα-3=0,(sinα+2)2=7,
(舍负),且有(10分)
又∵
(12分)
点评:本题考查三角函数的化简求值,着重考查平面向量的坐标表示及垂直与平行的应用,难点在于反正弦的理解与应用,属于中档题.
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