Question

设向量a=（x²-3，1），b=（2x，-y）（其中实数y和x不同时为零），当|x|＞1时，有a⊥b；当|x|≤1时，有a∥b．
（Ⅰ）求函数解析式y=f（x）；
（Ⅱ）设，且，求α．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵当|x|＞1时，
∴（x²-3）•2x-y=0，
∴y=2x³-6x（|x|＞1）（2分）
∵当|x|≤1时，
∴（x²-3）•（-y）=2x，
∵实数y和x不同时为零，
∴（4分）
∴（6分）
（Ⅱ）由|sinα|≤1且，
∴有，（8分）
∴sin²α+4sinα-3=0，（sinα+2）²=7，
∴（舍负），且有（10分）
又∵，
∴（12分）
分析：（Ⅰ）根据题意分类讨论，当|x|＞1时由，可得函数解析式；|x|≤1时由，可得其函数表达式；两者合起来即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道，，由即得，从而可求得，利用反正弦可求得α．
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查平面向量的坐标表示及垂直与平行的应用，难点在于反正弦的理解与应用，属于中档题．