Question

设向量a=（x²-3，1），b=（2x，-y）（其中实数y和x不同时为零），当|x|＞1时，有a⊥b；当|x|≤1时，有a∥b．
（Ⅰ）求函数解析式y=f（x）；
（Ⅱ）设α∈(0，

π

2

)，且f(sinα)=

1

2

，求α．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意分类讨论，当|x|＞1时由

a

⊥

b

，可得函数解析式；|x|≤1时由

a

∥

b

，可得其函数表达式；两者合起来即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道，α∈(0，

π

2

)，由f(sinα)=

1

2

即得

2sinα

3-sin2α

=

1

2

，从而可求得sinα=

7

-2，利用反正弦可求得α．

解答：解：（Ⅰ）∵当|x|＞1时

a

⊥

b

，
∴（x²-3）•2x-y=0，
∴y=2x³-6x（|x|＞1）（2分）
∵当|x|≤1时

a

∥

b

，
∴（x²-3）•（-y）=2x，
∵实数y和x不同时为零，
∴y=

2x

3-x2

(|x|≤1，且x≠0)（4分）
∴y=f(x)=

2x3-6x，(x＜-1或x＞1) 2x 3-x2 ，(-1≤x≤1且x≠0)

（6分）
（Ⅱ）由|sinα|≤1且f(sinα)=

1

2

，
∴有

2sinα

3-sin2α

=

1

2

，（8分）
∴sin²α+4sinα-3=0，（sinα+2）²=7，
∴sinα=±

7

-2（舍负），且有0＜

7

-2＜1（10分）
又∵α∈(0，

π

2

)，
∴α=arcsin(

7

-2)（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查平面向量的坐标表示及垂直与平行的应用，难点在于反正弦的理解与应用，属于中档题．