题目内容

已知向量
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，函数f(x)=
m
•
n
，若f（x）相邻两对称轴间的距离为
π
2

（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，f（A）=1，△ABC的面积S=5
3
，b=4，求a．
分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式，化简得f(x)=2sin(2ωx+
π
6
)，结合三角函数的周期公式即可算出ω的值；
（2）由（1）的结论得f(A)=2sin(2A+
π
6
)=1，结合A为三角形的内角算出A=
π
3
，再根据△ABC的面积为5
3
，解出c=5．最后由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，即可算出边a的大小．
解答：解：（1）∵
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)，
∴f(x)=
m
•
n
=(cos2ωx-sin2ωx)+2
3
sinωxcosωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx=2sin(2ωx+
π
6
)，
又∵f（x）相邻两对称轴间的距离为
π
2
，
∴函数的周期T=
2π
2ω
=π，解之得ω=1；
（2）∵f(x)=2sin(2x+
π
6
)，
∴f(A)=2sin(2A+
π
6
)=1，得sin(2A+
π
6
)=
1
2
．
又∵A∈（0，π），得2A+
π
6
∈（
π
6
，
13π
6
），
∴2A+
π
6
=
5π
6
，解得A=
π
3
．
因此，△ABC的面积S=
1
2
bcsinA=
3
c=5
3
，所以c=5．
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=16+25-2×4×5×cos
π
3
=21，
解得a=
21
（舍负）．
点评：本题以向量的数量积为载体，求函数f（x）的表达式，并依此解△ABC．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、三角形面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网