题目内容
【题目】已知集合为集合的个非空子集,这个集合满足:①从中任取个集合都有 成立;②从中任取个集合都有 成立.
(Ⅰ)若, , ,写出满足题意的一组集合;
(Ⅱ)若, ,写出满足题意的一组集合以及集合;
(Ⅲ) 若, ,求集合中的元素个数的最小值.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意一一列举即可;(Ⅱ)根据题意一一列举即可;(Ⅲ)利用反证法进行证明.
试题解析:(Ⅰ) , , , .
(Ⅱ), , , ,.
(Ⅲ)集合中元素个数的最小值为120个.
下面先证明若,
则, , .
反证法:假设,不妨设.
由假设,设,设,
则是中都没有的元素, .
因为四个子集的并集为,
所以与矛盾,所以假设不正确.
若,且, ,
成立.则的个集合的并集共计有个.
把集合中120个元素与的3个元素的并集
建立一一对应关系,所以集合中元素的个数大于等于120.
下面我们构造一个有120个元素的集合:
把与 ()对应的元素放在异于的集合中,因此对于任意一个个集合的并集,它们都不含与对应的元素,所以.同时对于任意的个集合不妨为的并集,
则由上面的原则与对应的元素在集合中,
即对于任意的个集合的并集为全集.
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