题目内容

【题目】已知集合为集合个非空子集,这个集合满足:①从中任取个集合都有 成立;②从中任取个集合都有 成立

,写出满足题意的一组集合

写出满足题意的一组集合以及集合

) 求集合中的元素个数的最小值

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意一一列举即可;(Ⅱ)根据题意一一列举即可;(Ⅲ)利用反证法进行证明.

试题解析:

,

集合中元素个数的最小值为120个.

下面先证明若

反证法:假设,不妨设

由假设,设,设

中都没有的元素,

因为四个子集的并集为

所以矛盾,所以假设不正确.

,且

成立.则个集合的并集共计有个.

把集合中120个元素与的3个元素的并集

建立一一对应关系,所以集合中元素的个数大于等于120.

下面我们构造一个有120个元素的集合

把与 ()对应的元素放在异于的集合中,因此对于任意一个个集合的并集,它们都不含与对应的元素,所以.同时对于任意的个集合不妨为的并集,

则由上面的原则与对应的元素在集合中,

即对于任意的个集合的并集为全集

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