题目内容
20.已知函数f(x)=$\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}$-3x,a∈R.证明:当|a|≤$\frac{1}{4}$时,f(x)在(-1,1)内是减函数.分析 当$|a|≤\frac{1}{4}$时,证明f(x)在(-1,1)内是减函数?当$|a|≤\frac{1}{4}$时,证明f′(x)<0在(-1,1)内恒成立.
解答 证明:∵$f(x)=\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}-3x$,∴f′(x)=2x2-4ax-3是二次函数,
∵$|a|≤\frac{1}{4}$,x∈(-1,1)时,$\left\{{\begin{array}{l}{f′(-1)=4(a-\frac{1}{4})≤0}\\{f′(1)=-4(a+\frac{1}{4})≤0}\end{array}}\right.$,
又f′(x)是开口向上的抛物线,由二次函数的性质,
∴?x∈(-1,1),f′(x)<0,
∴f(x)在(-1,1)内是减函数.
点评 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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10.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间($\frac{1}{2}$,1)内恒有f(x)<0,则f(x)的单调递增区间是( )
A. | (-∞,-$\frac{1}{4}$) | B. | (-$\frac{1}{4}$,+∞) | C. | (-∞,-$\frac{1}{2}$) | D. | (0,+∞) |
11.函数y=$\frac{1}{3}$x3-x2+5在x=1处的切线倾斜角为( )
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |
15.cos15°的值为( )
A. | $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$ | B. | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$ | C. | $2-\sqrt{3}$ | D. | $2+\sqrt{3}$ |
5.若角α终边在第二象限,则π-α所在的象限是( )
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
9.某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机测量了20人,得到如下数据
(1)若“身高大于175厘米”的为“高个”,“身高小于等于175厘米”的为“非高个”;“脚长大于42码”的为“大脚”,“脚长小于等于42码”的为“非大脚”,请根据上表数据完成下面的2×2列联表.
(2)根据(1)中的2×2列联表,试运用独立性检验的思想方法:能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为脚的大小与身高之间有关系.
参考公式:${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
参考数据:
身高(厘米) | 192 | 164 | 172 | 177 | 176 | 159 | 171 | 166 | 182 | 166 |
脚长(码) | 48 | 38 | 40 | 43 | 44 | 37 | 40 | 39 | 46 | 39 |
身高(厘米) | 169 | 178 | 167 | 174 | 168 | 179 | 165 | 170 | 162 | 170 |
脚长(码) | 43 | 41 | 40 | 43 | 40 | 44 | 38 | 42 | 39 | 41 |
(2)根据(1)中的2×2列联表,试运用独立性检验的思想方法:能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为脚的大小与身高之间有关系.
高个 | 非高个 | 合计 | |
大脚 | |||
非大脚 | 12 | ||
合计 | 20 |
参考数据:
P(k2>k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |