Question

设函数f(x)=log4(4x+1)+ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函数的定义f（-x）=f（x）恒成立可求；
（Ⅱ）不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R成立，等价于[f（x）+f（-x）]_min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（-x）]_min，然后构造关于t的一次函数，利用一次函数的性质可求得m范围．

解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（-x）恒成立，
则log4(4x+1)+ax=log4(4-x+1)-ax，
∴2ax=log4

4-x+1

4x+1

=log4

1

4x

=-x，
∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故a=-

1

2

．
（Ⅱ）f(x)+f(-x)=log4(4x+1)+ax+log4(4-x+1)-ax=log4(4x+1)+log4(4-x+1)
=log4(4x+1)(4-x+1)=log4(2+4x+4-x)≥log4(2+2

4x×4-x

)=1．
当且仅当x=0时取等号，
∴mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由

h(-2)=-2m+m≤1 h(1)=m+m≤1

，解得-1≤m≤

1

2

，
故实数m的取值范围是[-1，

1

2

]．

点评：本题考查函数奇偶性的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值解决．