题目内容

(2013•杭州一模)设等差数列{an}满足:
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
sin(a4+a5)
=1,公差d∈(-1,0).若当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,则首项a1取值范围是(  )
分析:利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差d的范围求出公差的值,代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围.
解答:解:由
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
sin(a4+a5)
=1,
得:
-cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6)
sin(a4+a5)
=1

-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)
sin(a4+a5)
=1

由积化和差公式得:
1
2
cos2a3+
1
2
cos2a6-cos2a3
sin(a4+a5)
=1

整理得:
1
2
(cos2a6-cos2a3)
sin(a4+a5)
=
1
2
(-2)sin(a6+a3)sin(a6-a3)
sin(a4+a5)
=1

∴sin(3d)=-1.
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),
则3d=-
π
2
,d=-
π
6

Sn=na1+
n(n-1)d
2
=na1+
n(n-1)•(-
π
6
)
2
=-
π
12
n2+(a1+
π
12
)n

对称轴方程为n=
6
π
(a1+
π
12
)

由题意当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,
17
2
6
π
(a1+
π
12
)<
19
2
,解得:
3
a1
2

∴首项a1的取值范围是(
3
2
)

故选:B.
点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式,考查了等差数列的前n项和,训练了二次函数取得最值得条件,考查了计算能力,是中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网