题目内容
(2013•杭州一模)设等差数列{an}满足:
=1,公差d∈(-1,0).若当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,则首项a1取值范围是( )
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6 |
sin(a4+a5) |
分析:利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差d的范围求出公差的值,代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围.
解答:解:由
=1,
得:
=1,
即
=1,
由积化和差公式得:
=1,
整理得:
=
=1,
∴sin(3d)=-1.
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),
则3d=-
,d=-
.
由Sn=na1+
=na1+
=-
n2+(a1+
)n.
对称轴方程为n=
(a1+
),
由题意当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,
∴
<
(a1+
)<
,解得:
<a1<
.
∴首项a1的取值范围是(
,
).
故选:B.
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6 |
sin(a4+a5) |
得:
-cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6) |
sin(a4+a5) |
即
-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6) |
sin(a4+a5) |
由积化和差公式得:
| ||||
sin(a4+a5) |
整理得:
| ||
sin(a4+a5) |
| ||
sin(a4+a5) |
∴sin(3d)=-1.
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),
则3d=-
π |
2 |
π |
6 |
由Sn=na1+
n(n-1)d |
2 |
n(n-1)•(-
| ||
2 |
π |
12 |
π |
12 |
对称轴方程为n=
6 |
π |
π |
12 |
由题意当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,
∴
17 |
2 |
6 |
π |
π |
12 |
19 |
2 |
4π |
3 |
3π |
2 |
∴首项a1的取值范围是(
4π |
3 |
3π |
2 |
故选:B.
点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式,考查了等差数列的前n项和,训练了二次函数取得最值得条件,考查了计算能力,是中档题.
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