题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
是
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析,(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)连结交
于点
,连结
,可知
,根据线面平行的判定定理,证明即可.
(Ⅱ)法一: 由,
,可知
,即
,根据
平面
,可知
平面
,即
,
,以
为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,求各点坐标,计算平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,根据
,求解即可. 法二:延长
、
交于
,连接
,过
作
于
,过
作
于
,连接
,则
平面
,
,又
,所以
平面
,
为平面
与平面
所成锐二面角的平面角. 由
,
,
,计算
,
,利用
,求解,即可.
(Ⅰ)证明:连结交
于点
,连结
.
则为
中点,
为
中位线.
所以.
又平面
,
平面
.
所以平面
.
(Ⅱ)法一:因为,
是
的中点,所以
.
又因为,所以
,则
即,所以
.
又因为平面
,所以建立如图所示空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
.
平面的法向量为
.
设平面的法向量为
,则由
,
,得
令,则
,
.
所以平面与平面
所成的锐二面角
的余弦值为
.
法二:延长、
交于
,连接
,过
作
于
,
过作
于
,连接
,
则平面
,
,又
,所以
平面
,
为平面
与平面
所成锐二面角的平面角.
中,
,所以高
为中线,
,
,
∵,∴
,∴
,
中,
,
,∴
中,
,
,
所以平面与平面
所成锐二面角的平面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年10月18日-27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示,现有如下说法:①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为;②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”;③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”;则正确命题的个数为( )附:
男性运动员 | 女性运动员 | |||||
对主办方表示满意 | 200 | 220 | ||||
对主办方表示不满意 | 50 | 30 | ||||
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |||
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 | ||
A.0B.1C.2D.3