题目内容

(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)

已知函数,其中常数a > 0.

(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在上是减函数;

(2) 求函数f(x)的最小值.

 

【答案】

(1)任取0<x1<x2≤2,则f(x1)–f(x2)=

因为0<x1<x2≤2,所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2);

(2)

【解析】

试题分析:(1) 当时,,…………………………………………1分

任取0<x1<x2≤2,则f(x1)–f(x2)=………………3分

因为0<x1<x2≤2,所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)………………………………………5分

所以函数f(x)在上是减函数;………………………………………………………6分

(2),……………………………………………………7分

当且仅当时等号成立,…………………………………………………………8分

,即时,的最小值为,………………………10分

,即时,上单调递减,…………………………………11分

所以当时,取得最小值为,………………………………………………13分

综上所述: ………………………………………14分

考点:函数的单调性和最值;基本不等式。

点评:用定义法证明函数单调性的步骤:一设二作差三变形四判断符号五得出结论,其中最重要的是四变形,最好变成几个因式乘积的形式,这样便于判断符号。

 

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