题目内容
(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知函数,其中常数a > 0.
(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在上是减函数;
(2) 求函数f(x)的最小值.
【答案】
(1)任取0<x1<x2≤2,则f(x1)–f(x2)=,
因为0<x1<x2≤2,所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2);
(2)。
【解析】
试题分析:(1) 当时,,…………………………………………1分
任取0<x1<x2≤2,则f(x1)–f(x2)=………………3分
因为0<x1<x2≤2,所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)………………………………………5分
所以函数f(x)在上是减函数;………………………………………………………6分
(2),……………………………………………………7分
当且仅当时等号成立,…………………………………………………………8分
当,即时,的最小值为,………………………10分
当,即时,在上单调递减,…………………………………11分
所以当时,取得最小值为,………………………………………………13分
综上所述: ………………………………………14分
考点:函数的单调性和最值;基本不等式。
点评:用定义法证明函数单调性的步骤:一设二作差三变形四判断符号五得出结论,其中最重要的是四变形,最好变成几个因式乘积的形式,这样便于判断符号。
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