题目内容

【题目】如图,设椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右顶点, 为右焦点,直线的交点到轴的距离为,过点轴的垂线 上异于点的一点,以为直径作圆.

(1)求的方程;

(2)若直线的另一个交点为,证明:直线与圆相切.

【答案】(1) ;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:

(1)结合题意可求得 ,则的方程为.

(2)由题意可得,直线与圆相切时,直线的斜率为,结合(1)中求得的椭圆方程即可证得题中的结论.

试题解析:

(1)解:由题可知, ,∴

设椭圆的方程为

,得,∴

的方程为.

(2)证明:由(1)可得: ,设圆的圆心为,则

的半径为

直线的方程为.

设过与圆相切的直线方程为

,整理得:

,得

又∵

∴直线与圆相切.

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