题目内容
【题目】已知二次函数(其中
)满足下列三个条件:①
图象过坐标原点;②对于任意
都
成立;③方程
有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)令(其中
),求函数
的单调区间(直接写出结果即可);
(3)研究方程在区间
内的解的个数.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)由图象过原点得,由
得对称轴,方程
有两个相等实根,对应的
,三个条件可得三个等式,从而求得
得解析式;
(2)化简函数为分段函数,当
时,结合函数
的对称轴求出单调区间,
时类似求出单调区间.
(3)结合(2)中函数的单调性可研究在
上的零点个数.注意零点存在定理的应用.
(1)因为图象过坐标原点,所以
,即
,
又,所以其对称轴是
,即
,
,
又方程为
,即
有两个相等实根,所以
,
,
所以.
(2),
①当时,
的对称轴是
,
若,即
时,
在
上单调递增,
若,即
时,
在
上单调递增,在
上递减,
②当时,
的对称轴是
,
则函数在
上递减,在
上递增,
综上所述,当时,
的减区间为
,增区间为
;
时,减区间为
,
,增区间为
,
.
(3)①当时,由(2)知
在
上单调递增,
又,
,故函数
在
上只有一个零点;
②时,则
,
,
,
,
(i)当时,
,
且,此时
在
上只有一个零点,
(ii)当时,
且
,此时
在
上有两个不同零点.
综上所述,当时,
在
上只有一个零点,
时,
在
上有两个不同零点.
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