题目内容
设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N+都有
。
。 证明：先证必要性：
设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立；
若d≠0，
则
；
再证充分性：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立，
首先，在等式
，①
两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，
记公差为d，则a2=a1+d，
假设ak=a1+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下二等式
，②
，③
将②代入③，得
，
在该式两端同乘a1akak+1，得(k-1)
，
将ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd，
由数学归纳法原理知，对一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．
设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立；
若d≠0，
则
；再证充分性：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立，
首先，在等式
，① 两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，
记公差为d，则a2=a1+d，
假设ak=a1+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下二等式
，② ，③将②代入③，得
，在该式两端同乘a1akak+1，得(k-1)
，将ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd，
由数学归纳法原理知，对一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．
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